2025 Final Exam 结构
100分，180分钟，6道题，14页。
逐题内容映射
Q1 (20分) — 8道判断题，每题2.5分
覆盖范围非常广，横跨整个课程：
| 题号 | 内容 | 对应知识 |
|---|---|---|
| (1) | Irreducible transient chain 的 $f_{ij}$ | Phases 1-4（MC 基础） |
| (2) | $\sum p_{i\ell}^{(n)} < \infty$ 的传递性 | Phases 1-4（transience） |
| (3) | Positive recurrent → $E_i[T_j] < \infty$ | Phases 1-4（recurrence） |
| (4) | $\sup{t \leq 100 : X_t = 0}$ 是否 stopping time | Phase 5.2 |
| (5) | $X_k \geq -20$ 的 MG 是否 a.s. 收敛 | Phase 5.4（MCT） |
| (6) | $\int_0^t dB(s) = B(t)$ | Phase 7（Itô integral） |
| (7) | 三个独立 BM 同时进入 $[10,11]$ | Phase 6（BM 性质） |
| (8) | $N(t)^2 - (t + t^2)$ 是否 MG | 新内容（Poisson process） |
Q2 (14分) — 有限状态 MC 计算
- (1) 用 recurrence time theorem 求 $E_1[T_1]$
- (2) 用 one-step expansion（f-expansion）求 hitting probability
这完全是 Phases 1-4 的内容。
Q3 (13分) — 半无限 random walk（birth-death chain）
- (1) 用 detailed balance 找 stationary measure
- (2) 根据 $q$ 的值判断 positive recurrent / null recurrent / transient
也是 Phases 1-4 的内容，配合 Gambler’s Ruin 的结果。
Q4 (28分) — BM + Itô Calculus（最重的一题）
- (1) 计算一个 Riemann sum 的极限 → Itô integral + quadratic variation
- (2) 用 Itô’s formula 求 $h(x)$ 使得 $e^{X_t - \int h(X_s)ds}$ 是 MG
- (3) 用 Strong Markov + Reflection Principle 求 $E[B_1^2 \cdot \mathbf{1}_{M \geq a}]$
- (4) 用 Itô’s formula 验证 MG + OST 求 $E[\tau]$
这是 Phases 6-8 的核心应用。28分，是分值最高的单题。
Q5 (8分) — Poisson Process
- 条件于 $N(t) = n$，arrival times 是 i.i.d. Uniform
- 计算 $E[\exp(-\sum T_i)]$
这是我们目前还没有覆盖的内容（Poisson process）。
Q6 (17分) — 随机二分区间上的 Martingale
- (1) 验证 $(X_n)$ 是非负 MG → MCT → a.s. convergence
- (2) 构造不满足 $L^1$ convergence 的反例（atomic measure → 类似 Q2(a) 的 product MG 逻辑）
- (3) 识别 $X_n$ 是 Doob’s martingale → 自动 UI → $L^1$ convergence
这综合了 Phases 5.1, 5.4 的内容，特别是 MCT、UI、Doob’s MG。
分值分布按主题
| 主题 | 分值 | 占比 |
|---|---|---|
| MC 基础（Phases 1-4） | Q1部分 + Q2 + Q3 ≈ 34分 | ~34% |
| Martingale 工具箱（Phases 5.1-5.5） | Q1部分 + Q6 ≈ 22分 | ~22% |
| BM + Itô Calculus（Phases 6-8） | Q1部分 + Q4 ≈ 33分 | ~33% |
| Poisson Process（未覆盖） | Q1部分 + Q5 ≈ 11分 | ~11% |
关键观察
1. Q4 是决定性的题目。 28分，全部关于 BM 和 Itô calculus。四个小题分别考了 Itô integral 定义（Riemann sum → 极限）、Itô’s formula 的机械应用、Reflection Principle、以及 Itô’s formula + OST 的组合。如果 Phases 6-8 掌握得好，这28分几乎可以全拿。
2. MC 基础仍然占三分之一。 虽然 Midterm 1 已经考过，Final 仍然大量考 MC 的内容。Phases 1-4 的知识不能丢。
3. Martingale 的概念理解比计算更重要。 Q6 不是让你算什么复杂的东西，而是考你对 MCT、UI、Doob’s MG 的概念理解——能不能识别一个过程是 martingale、能不能判断 UI、能不能找到正确的极限。
4. Poisson Process 是一个独立模块。 大概10分左右。我们还没有覆盖这个内容，需要单独处理。
5. Q4(4) 的模式需要特别注意。 给你一个 SDE $dX_t = \ldots$，让你用 Itô’s formula 验证某个函数是 MG，然后用 OST 求 expected hitting time。这个"Itô + OST"的组合是 final 最核心的题型，直接对应 Phase 8 的方法论。
对你的 Final Exam 的启示
虽然你的考试是 2026 年，professor 是同一个人（Wenlong Mou），题目结构大概率类似。优先级建议：
- 最高优先级： Itô’s formula 的机械应用 + OST 组合（Q4 类型，~28分）
- 高优先级： MC 基础计算不能丢（Q2-Q3 类型，~27分）
- 高优先级： MCT + UI 的概念判断（Q6 类型，~17分）
- 中优先级： Poisson Process 基础（Q5 类型，~8分）
- 标准优先级： 判断题需要对所有概念有清晰理解（Q1，20分）
还有一个我们没覆盖的内容是 Poisson Process。