出现的数学符号定义：

  • $Y_t$: 在时间 $t$ 的随机过程的值，即被积函数。
  • $T$: 积分区间的终端时间。
  • $m$: 时间区间 $[0, T]$ 划分的子区间数量。
  • $t_k$: 时间划分中的第 $k$ 个离散时间点。
  • $Y^{(k)}$: 在时间区间 $[t_k, t_{k+1})$ 内，分段常数过程（Piecewise constant process）所取的恒定随机变量值。
  • $\mathcal{F}_{t_k}$: 在 $t_k$ 时刻的自然域流（Filtration）。代表从时间 $0$ 到 $t_k$ 为止，布朗运动所产生的全部历史信息的集合。
  • $\mathcal{F}_{t_k}\text{-measurable}$: 随机变量关于域流 $\mathcal{F}_{t_k}$ 可测。表示在 $t_k$ 时刻，该随机变量的值是完全确定的，不包含任何未来的随机性。
  • $B_{t_{k+1}} - B_{t_k}$: 布朗运动在区间 $[t_k, t_{k+1}]$ 上的向前增量（Forward increment）。
  • $E[\cdot | \mathcal{F}_{t_k}]$: 给定直到 $t_k$ 时刻所有信息的条件期望（Conditional expectation）。
  • $(Y_t)_{t \geq 0}$: 定义在所有非负时间上的连续时间随机过程。
  • $(B_s)_{s \leq t}$: 从时间 $0$ 到 $t$ 的布朗运动路径历史。
  • $Y_t^{(n)}$: 对连续过程 $Y_t$ 的第 $n$ 个分段常数近似过程。
  • $L^2$: 平方可积随机变量空间。若一个随机变量 $X \in L^2$，意味着 $E[X^2] < \infty$。
  • $E\left[|Y_t - Y_t^{(n)}|^2\right]$: 目标过程 $Y_t$ 与其近似过程 $Y_t^{(n)}$ 之间误差的均方值。

需要熟练掌握的：

  • Itô’s formula 的机械代入：给你 $f$ 和 $dZ_t$，展开 $df(Z_t)$ 或 $df(t, Z_t)$
  • 三条运算规则：$(dB)^2 = dt$，$(dt)^2 = 0$，$dt \cdot dB = 0$
  • 判断 martingale：展开后 $dt$ 系数为零 → MG
  • Itô integral 的基本性质：$\int Y \, dB$ 是 MG，期望为零
  • Isometry：$E[(\int Y \, dB)^2] = \int E[Y^2] \, dt$
  • Quadratic variation：$d\langle Z \rangle_t = Y_t^2 dt$

不需要的（考试没考过）：

  • Itô integral 的构造过程（piecewise constant → $L^2$ 极限）
  • Up-crossing argument（MCT 的证明）
  • Isometry 的证明
  • 为什么左端点 vs 中点给出不同结果的严格论证

Itô Calculus

1. 三条运算规则

$$(dB_t)^2 = dt, \quad (dt)^2 = 0, \quad dt \cdot dB_t = 0$$

2. Itô Integral 的性质

$\int_0^t Y_s \, dB_s$ 是 martingale，所以 $E\left[\int_0^t Y_s \, dB_s\right] = 0$。

Isometry：$E\left[\left(\int_0^t Y_s \, dB_s\right)^2\right] = \int_0^t E[Y_s^2] \, ds$

特殊情况：$\int_0^t dB_s = B_t$（2025 Final Q1(6) 直接考了）

3. Quadratic Variation

如果 $dZ_t = X_t \, dt + Y_t \, dB_t$，那么：

$$d\langle Z \rangle_t = Y_t^2 \, dt$$

BM 的特殊情况：$\langle B \rangle_t = t$

4. Itô’s Formula — 三个版本

版本 A：$f(B_t)$

$$df(B_t) = f'(B_t) \, dB_t + \frac{1}{2}f''(B_t) \, dt$$

版本 B：$f(Z_t)$，其中 $dZ_t = X_t \, dt + Y_t \, dB_t$

$$df(Z_t) = f'(Z_t) \, dZ_t + \frac{1}{2}f''(Z_t) \, d\langle Z \rangle_t$$

展开后：

$$df(Z_t) = \left(f'(Z_t) X_t + \frac{1}{2}f''(Z_t) Y_t^2\right) dt + f'(Z_t) Y_t \, dB_t$$

版本 C：$f(t, Z_t)$（time-inhomogeneous）

$$df(t, Z_t) = \frac{\partial f}{\partial t} \, dt + \frac{\partial f}{\partial z} \, dZ_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \, d\langle Z \rangle_t$$

展开后：

$$df(t, Z_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z} X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} Y_t^2\right) dt + \frac{\partial f}{\partial z} Y_t \, dB_t$$

5. 判断 Martingale 的方法

对 $f(Z_t)$ 或 $f(t, Z_t)$ 做 Itô expansion，看 $dt$ 的系数：

  • $dt$ 系数 $= 0$ → 是 martingale
  • $dt$ 系数 $\neq 0$ → 不是 martingale

$dB_t$ 部分永远是 martingale 增量，不用管。

6. Product Rule

$$d(Z_t^{(1)} Z_t^{(2)}) = Z_t^{(1)} \, dZ_t^{(2)} + Z_t^{(2)} \, dZ_t^{(1)} + Y_t^{(1)} Y_t^{(2)} \, dt$$

比普通 product rule 多了 $Y_t^{(1)} Y_t^{(2)} \, dt$（cross variation 项）。

7. 核心例子，记住结论

  • $B_t$ 是 MG
  • $B_t^2 - t$ 是 MG
  • $e^{bB_t - b^2t/2}$ 是 MG
  • $\int_0^T B_t \, dB_t = \frac{1}{2}B_T^2 - \frac{1}{2}T$

8. 考试做题模板

题型：“验证 $M_t$ 是 MG”

→ 对 $M_t$ 用 Itô’s formula 展开 → 确认 $dt$ 系数为零 → 结论

题型：“求 $E[\tau]$”

→ 找/验证一个 MG $M_t$ → 验证 OST 条件（通常是 bounded up to $\tau$）→ $E[M_\tau] = E[M_0]$ → 解方程

题型：“计算 Riemann sum 的极限”

→ 识别哪部分是 Itô integral（左端点 × 增量）→ 识别哪部分是 quadratic variation（增量的平方和）→ 分别求值